यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} \right) = K\left( {^{50}C_{25}} \right)}$,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1, 3, 5, 8$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $3$ से विभाज्य तीन अंकों की कुल कितनी संख्याएँ हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?

टीम $A$ में $7$ लड़के और $n$ लड़कियाँ हैं और टीम $B$ में $4$ लड़के और $6$ लड़कियाँ हैं। यदि इन दो टीमों के बीच कुल $52$ एकल मैच आयोजित किए जा सकते हैं,जहाँ एक लड़का एक लड़के के खिलाफ और एक लड़की एक लड़की के खिलाफ खेलती है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$100$ रुपये के $4$ नोट और $1$,$2$,$5$,$20$ और $50$ रुपये के $5$ अन्य नोट हैं। इन $9$ नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित किया जाना है कि प्रत्येक बच्चे को $100$ रुपये का कम से कम एक नोट मिले। वितरण के कुल तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$^{80}C_{40}$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

$1, 2, 3$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) $4$ अंकों की संख्याएँ जो $15$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या $............$ है।